Notation
Notation mathématique, sous forme d'opérateurs div et mod :
n div p = nombre de fois que p divise n (diviseur entier)
n mod p = le reste de la division de n par p
Exemples :
13 div 5 = 2, 13 mod 5 = 3 car 13 = 5x2 + 3
20 div 4 = 5, 20 mod 5 = 0 car 20 = 5x4 + 0
ssaa l'année, ie. 2004.
ss le siècle ou les deux premiers de l'année ssaa; ss = 20 pour l'an 2004.
aa l'année spécifique ou les deux derniers chiffres de l'année ssaa; aa = 04 pour l'an 2004.
m le rang du mois de l'année, sauf dans le cas de janvier et février qui valent respectivement. 13 et 14 de l'année précédente.
j le rang du jour de la semaine, avec par convention 0=Sam., 1=Dim., 2=Lun., ..., 6=Ven.
[ ] désigne la partie entière d'une division; [ ] équivalent à l'opérateur div.
| Rang de chacun des mois de l'année: m | ||||||||||||
| Mois M | Jan | Fév | Mars | Avr | Mai | Juin | Juil | Août | Sep | Oct | Nov | Déc |
| Rang N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| m | 13* | 14* | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
donc aa* = aa - 1 et non aa
| Rang du jour de la semaine : j | |||||||
| Jour | Dimanche | Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Samedi |
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
Algorithme
A) Calendrier grégorien
(dates depuis 1583)
Le rang j du jour de la semaine où tombe le quantième q du mois m de l'année sa est égal au reste de la division par 7 de z :
z = { quantième + [(26/10)(mois +1)] + année + [année/4] + [siècle/4] - 2siècle } mod 7
z = { q + [(26/10)(m +1)] + aa + [aa/4] + [ss/4] - 2ss } mod 7
z = { q + [2,6(m +1)] + aa + [aa/4] + [ss/4] - 2ss } mod 7
Les divers paramètres cernés par cette formule de Zeller ne changent pas au même rythme: q varie chaque jour, m change chaque mois, aa varie chaque année, aa/4 chaque année bissextile, ss chaque siècle, ss/4 à tous les 4 siècles. Néanmoins, la plus grande irrégularité est liée à la longueur différente des mois (28, 29, 30 et 31 jours), ce qui engendre des décalages de 1, 2 ou 3 unités. C'est pour corriger ces variations mensuelles que Zeller introduit l'expression (26/10)(m +1) qui elle-même augmente de 2,6 par mois. Le facteur 26/10 équivaut à postuler que tous les mois ont un nombre stable et non variable de jours, soit 30,6 jours par mois.
NOTE: Si z est négatif, on fait (7n + z) où l'entier n est choisi de façon à ce que la valeur de l'expression varie de 0 à 6; 7n reflètant le cycle répétitif des 7 jours de semaine. Par exemple, si z = -6, on fait 7 - 6 = 1, soit n=1; si z = -23, on fait 28 - 23 = 5, soit n=4.
B) Calendrier julien
(dates avant 1583)
z = { q + [(26/10)(m +1)] + aa + [aa/4] + 5 - 2 } mod 7
z = { q + [2,6(m +1)] + aa + [aa/4] + 5 - ss } mod 7
Exemples
Quels jours de la semaine tombaient les 12 octobre 1492, 18 janvier 1953 et 11 avril 2004?
12 octobre 1492
q = 12 m = 10 aa = 92 ss = 14
z = { 12 + [2,6(10 +1)] + 92 + [92/4] + 5 - 14 } mod 7
z = { 12 + 28 + 92 + 23 + 5 - 14 } mod 7
z = 146 mod 7 = 6 car 146 = 7 x 20 + 6
donc le 12 octobre 1492 = un Vendredi, date de la découverte de l'Amérique par Colombus (exemple de calcul présenté par Zeller dans son article de 1886).
18 janvier 1953
q = 18 m = 13 aa* = 52 ss = 19
z = { 18 + [2,6(13 +1)] + 52 + [52/4] + [19/4] - 2x19 } mod 7
z = { 18 + 36 + 52 + 13 + 4 - 38 } mod 7
z = 85 mod 7 = 1 car 85 = 7 x 12 + 1
donc le 18 janvier 1953 = un Dimanche
11 avril 2004
q = 11 m = 4 aa = 04 ss = 20
z = { 1 + [2,6(4 +1)] + 4 + [4/4] + [20/4] - 2x20 } mod 7
z = { 11 + 13 + 4 + 1 + 5 - 40 } mod 7
z = {-6} mod 7
z = -6, on fait 7 - 6 = 1
donc le 11 avril 2004 = un Dimanche; jour de Pâques.
Au besoin, le lecteur pourrait vérifier ses résultats de calcul du jour de la semaine au moyen de notre Calendrier pratique, du Calendrier permanent ou du Calendrier perpétuel à 12 mois.
Autre version de l'algorithme
z = { q + [2,6m - 0,2)] + aa + [aa/4] + [ss/4] - 2ss } mod 7
Dans cette version, les codes des mois commencent dans l'ordre avec mars = 1, avril = 2, ... décembre = 10; les mois de janvier et février sont considérés ici respectivement comme 11e et 12e mois de l'année précédente (voir Vardi, I. 1991, pp. 237-238, Uspensky et Heaslet 1939, pp. 206-211 et Eric W. Weisstein 1999).
| Codes M des mois de l'année | ||||||||||||
| Mois | Jan | Fév | Mars | Avr | Mai | Juin | Juil | Août | Sep | Oct | Nov | Déc |
| M | 11* | 12* | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
donc aa* = aa - 1 et non aa
Références :
- Formule de Zeller, par Charles-É. Jean dans Dictionnaire de mathématiques récréatives
- Weekday, par Eric W. Weisstein, 1999.
- Calendar Formulae, par Dr J R Stockton.
- "Kalender-Formeln" von Chr. Zeller, Acta Mathematica, vol.9 (1886-7), pp.131-6. (Nov 1886)
- "Kalender-Formeln" von Rektor Chr. Zeller, Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, ser. 1, 1 (1885), 54-58.
- "Problema duplex Calendarii fundamentale". Par M. Ch. Zeller, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol.11, pp.59-61, (Séance du 16 mars 1883).
- "Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst", Zeller, Chr., Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, Jahrgang V (1882), pp. 313-314.
- Calendars Algorithms, par le Professeur Michael E. Mauel, Columbia University.
- Zeller's algorithm.
- Finding Day of Week par Changkai.
- Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 237-238, 1991.
- Uspensky, J. V. and Heaslet, M. A., Elementary Number Theory. New York: McGraw-Hill, pp. 206-211, 1939.
Mythe du vendredi 13 |