 |  Page Page |  |
Pâques : définition générale
Le dimanche de Pâques est la célébration de la résurrection de Jésus-Christ, un événement majeur au coeur du christianisme et donnant ainsi à Pâques la principale place dans le calendrier liturgique.
Pour désigner cette fête, les langues latines ont adopté la terminologie hébraique-grecque. En hébreu, Pâques se dit Passah (fête de 7 jours, du 14e au 21e jour du mois de Nisan). L'équivalent de Pâques est Pascha en grec [verbe grec paschein = souffrir], Pascha en latin, Pasqua en italien, Pascua en espagnol, Pask en écossais; Paschen en hollandais; Paaske en danois; Pask en suédois. Par contre, les Anglo-Saxons se réfèrent à eâster, eâstron [pluriel de eâster, car fête de 7 jours], du vieux allemand ôstra, ôstrara, ôstrarûn, terme relié lui-même à Estre, une déesse teutonique. Ainsi, Pâques se dit Easter en anglais, Ostern en allemand.
Pâques : définition ecclésiastique
La définition ecclésiastique actuelle de la date de Pâques est celle adoptée par le concile de Nicée. En l'an 325, le concile de Nicée, convoqué par l'empereur romain Constantin, a décrété la règle suivante pour la date pascale :
«Pâques est célébrée le dimanche qui suit le quatorzième jour de la Lune qui atteint cet âge au 21 mars ou immédiatement après»;
avec le quatorzième jour de la Lune étant le jour de la pleine Lune et le 21 mars correspondant à la date de l´équinoxe du printemps (ou équinoxe vernal).
En détail, les règles ecclésiastiques sont :
a) Pâques tombe le premier dimanche après la première pleine lune ecclésiastique, qui survient le jour de l'équinoxe vernal ou juste après;
b) cette pleine lune ecclésiastique spécifique est le 14ème jour de la lunaison tabulaire (nouvelle lune);
c) l'équinoxe vernal est fixé au le 21 mars; en conséquence, Pâques ne tombe jamais avant le 22 mars et au plus tard le 25 avril.
En somme, Pâques est le premier dimanche qui suit la première pleine Lune du Printemps; sauf que la pleine lune impliquée dans cette définition n'est pas la Pleine Lune astronomique, mais une lune ecclésiastique (fixée dans des tables), qui observe plus ou moins la parité avec la Lune astronomique. La pleine lune ecclésiastique peut différer de la pleine lune réelle d'un ou deux jours. L'Église ne tient donc pas compte du mouvement réel de la lune. Elle utilise plutôt sa lune ecclésiastique, irréelle mais régulière pour son comput ou calcul des dates de fêtes religieuses mobiles. Notons ici qu'en l'an 45 av. J-C, lors de la mise en place du calendrier julien, son concepteur, l'astronome égyptien Sosigène, évaluait la date de l'équinoxe vernal au 25 mars. Toutefois, l'écart [de 0,0078 jour; cf. ci-bas] entre l'année julienne et l'année solaire réelle avait lentement fait dériver cette date au cours des siècles. Le 21 mars était la date véritable de l'équinoxe vernal pendant le Concile de Nicée.
L'équinoxe vernal est une des périodes de l'année (avec l'équinoxe automnal) où la durée du jour est différente de celle de la nuit. Cela est dû au fait que l'orbite de la Terre autour du Soleil est une éclipse et non un cercle. La loi de Kepler enseigne que la Terre se déplace plus vite quand elle est plus proche du Soleil (soit autour du 3 janvier) et plus lentement si elle est plus loin (autour du 4 juillet). C'est ce mouvement inégal qui provoque des variations dans la longueur du jour et dans les temps du lever et du coucher du Soleil.
| Dates des saisons (Équinoxes et Solstices / Printemps, Eté, Automne, Hiver) |
Pâques selon la Bible
La fête de Pâques est prescrite dans plusieurs passages de l'Ancien Testament, notamment dans les livres Lévitique (chap.23 :5-6), Nombres (chap.28 :16-17) et Exode (chap.12 : 1-6; 18).
Lévitique (le troisième livre de Moïse):
23.5 «Le premier mois, le quatorzième jour du mois, entre les deux soirs, ce sera la Pâque de l'Éternel.»
23.6 «Et le quinzième jour de ce mois, ce sera la fête des pains sans levain en l'honneur de l'Éternel; vous mangerez pendant sept jours des pains sans levain.»
Nombres (le quatrième livre de Moïse):
28.16 «Le premier mois, le quatorzième jour du mois, ce sera la Pâque de l'Éternel.»
28.17 «Le quinzième jour de ce mois sera un jour de fête. On mangera pendant sept jours des pains sans levain.»
Exode (le second livre de Moïse; Genèse = premier):
12.1 «L'Éternel dit à Moïse et à Aaron dans le pays d'Égypte:»
12.2 «Ce mois-ci sera pour vous le premier des mois; il sera pour vous le premier des mois de l'année.»
12.3 «Parlez à toute l'assemblée d'Israël, et dites: Le dixième jour de ce mois, on prendra un agneau pour chaque famille, un agneau pour chaque maison.»
12.4 «Si la maison est trop peu nombreuse pour un agneau, on le prendra avec son plus proche voisin, selon le nombre des personnes; vous compterez pour cet agneau d'après ce que chacun peut manger.»
12.5 «Ce sera un agneau sans défaut, mâle, âgé d'un an; vous pourrez prendre un agneau ou un chevreau.»
12.6 «Vous le garderez jusqu'au quatorzième jour de ce mois; et toute l'assemblée d'Israël l'immolera entre les deux soirs.» ...
12.18 «Le premier mois, le quatorzième jour du mois, au soir, vous mangerez des pains sans levain jusqu'au soir du vingt et unième jour.»
Pâques selon les Juifs
Conformément à la Bible, les Juifs fêtent Pâques [Passah en hébreu] du 14e au 21e jour du mois de Nisan. Dans le calendrier juif, un calendrier lunaire à corrections solaires, le mois de Nisan est le 1er mois de l'année et commence à la nouvelle lune [= Molad en hébreu] tombant le jour de l'équinoxe du printemps, ou immédiatement après. La structure interne du calendrier juif est assez complexe. La fixation compliquée du Rosh Ha-Shanah (Jour de l'an) aboutit à l'année normale ayant une longueur de 353, 354, ou 355 jours. L'année est respectivement appelée défectueuse (shanah khasera / 353 jours), régulière (shanah kesidra / 354 jours) et parfaite (shanah shelema / 355 jours). À cause de l'ajout d'un autre mois de 30 jours, une année bissextile peut avoir 383, 384, ou 385 jours. Une année normale consiste en 12 mois, tandis qu'une année bissextile a 13 mois !!! La longueur de chaque mois est de 29 ou 30 jours. L'année religieuse commence avec le mois Nisan comme premier mois et finit avec le mois Adar, qui est le douzième mois dans des années normales et le treizième mois dans des années bissextiles. Le mois Nisan a toujours 30 jours, tant dans toutes les années normales que dans toutes les années bissextiles.
Pâques dans les calendriers julien et grégorien
Calendrier julien
L'adoption du calendrier julien fut décrétée en l'an 45 av. J.-C. par l'empereur romain Jules César. Le calendrier julien a une année bissextile à tous les 4 ans: chaque année divisible par 4 est une année bissextile (366 jours au lieu des 365 jours de l'année normale). Dans le calendrier julien, l'année tropicale est d'environ 365 1/4 jours ou 365 + 0,25 = 365,25 jours. L'approximation 365 1/4 est réalisée en fixant 1 année bissextile tous les 4 ans: le nombre de jours dans le cycle de 4 ans est (365 x 4 + 1) = 1461 jours ou une moyenne annuelle de (1461 ÷ 4) = 365,25 jours.Or, l'année tropicale, i.e. l'intervalle moyen entre deux equinoxes vernaux [du latin vernalis = printemps] est en réalité de 365,24219879 jours ou en réduit 365,2422 jours [ou 365 jours, 5 heures, 48 minutes, et 45,98 secondes]. Cette dernière est le temps pris par la Terre pour faire une rotation autour du Soleil ou encore comme le temps pris par le Soleil pour retourner à la même place dans le ciel. Le nombre de mois synodiques dans une année tropicale est d'environ 12,368267; le mois synodique ayant 29,530587 jours [365,242190 ÷ 29,530587 = 12,368267]. Rappelons que la période synodique est le délai entre les phases lunaires ou entre deux pleines lunes ou encore le temps requis à la lune pour faire une rotation autour de la Terre. Ce temps de 29,530587 jours [ou 29 jours 12 h 44 min. 2,8 sec.] séparant deux pleines (ou nouvelles) Lunes s'appelle aussi une lunaison, ou mois lunaire ou encore révolution synodique. Avec une étonnante précision, la durée moyenne d'une lunaison fut connue dès le deuxième siècle av. J-C; Hipparque de Nicée (env. 190 - env. 125 av. J.-C.) l'ayant alors évaluée à 29 jours, 12 heures, 44 minutes et 3 secondes, soit avec une erreur de moins d'une seconde. On lui doit aussi la découverte de la précession des équinoxes.
| Durée moyenne d'une lunaison en jours: 29 j 12 h 44 min. 2,8 sec | ||
| 1 jour=24 h | 1 h=(1÷24)=0,041 666 666 jour | 12 h=12 x 0,041 666 666=0,499 999 992 jour |
| 1 jour=1440 min. (24 h x 60 min.) | 1 min=(1÷1440)=0,000 694 444 jour | 44 min.=44 x 0,000 694 444=0,030 555 536 jour |
| 1 jour=86 400 sec. (1440 min. x 60 sec.) | 1 sec.=(1÷86 400) = 0,000 011 574 jour | 2,8 sec.=2,8 x 0,000 011 574=0,000 032 407 jour |
| 12 h 44 min. 2,8 sec.=0,499 999 992+0,030 555 536+0,000 032 407=0,530 587 935 jour | ||
| 29 jours 12 h 44 min. 2,8 sec.=29,530 587 935 jours | ||
Ce postulat du calendrier julien donne donc un biais non corrigé de 0,0078 jour (=365,2422 - 365,25) ou de 1/128 jour (1 ÷ 128 = 0,0078125). Ceci entraîne une erreur d'environ 1 jour à tous les 128 ans. Donc, tous les 128 ans, l'année tropicale recule d'un jour au calendrier julien. En réalité, l'année tropicale ou année solaire réelle est d'environ 365,2422 "jours solaires" [365,2421988], temps requis pour que le Soleil trace un plein cercle dans du ciel.
La durée de l'année julienne est trop longue de 11,23 minutes (365,25 jours au lieu de 365,2422):
erreur de (0,25 - 0,2422) jour = 0,0078 jour = 11,23 minutes (= 0,0078 x 1440).
Dans le calendrier julien, les dates de l'année tombent aux même jours de la semaine à tous les 28 ans. Dans le calendrier grégorien, ce cycle répétitif de 28 ans reste encore vrai pour les périodes qui ne croisent pas d'années qui sont divisibles par 100, mais pas par 400. Par ailleurs, lors de la mise en place du calendrier julien en l'an 45 av. J.-C, son concepteur, l'astronome égyptien Sosigène, évaluait la date de l'équinoxe vernal au 25 mars. Toutefois, cette date a lentement dérivé au cours des siècles, à cause de l'écart entre l'année julienne et l'année tropicale. Ainsi, le concile de Nicée, tenu en l'an 325 av. J.-C., a dû faire un ajustement pour fixer l'équinoxe vernal au 21 mars. Notons aussi que jusqu'en l'an 303, la semaine romaine comptait huit jours! Finalement, il importe de souligner que le calendrier julien s'inspire du modèle égyptien. Adopté en 1000 av. J.-C., le calendrier égyptien est le tout premier calendrier solaire, à 365 jours, comportant 12 mois de 30 jours chacun, avec 5 jours supplémentaires de festivités pour clôturer l'année. Les anciens Grecs appelaient ce 13e mois égyptien l'epagomenai. Le début de l'année était lors de la parité du lever de l'étoile Sirius à celui du Soleil [lever héliaque], soit au moment de l'inondation annuelle du Nil. Encore aujourd'hui, les coptes d' Ethiopie utilisent un curieux calendrier avec 12 mois de 30 jours et un treizième de 5 jours!
Calendrier grégorien
Le calendrier grégorien a été conçu pour réduire la dérive des dates liée au calendrier julien. Ce dernier fut décreté en 1582 par le pape Grégoire XIII (13 !!!). Cette année là, nous avons perdu 10 jours, en passant directement du jeudi 4 octobre 1582 au vendredi 15 octobre 1582. En réalité, le calendrier grégorien a été calibré pour faire du 21 mars la date de l'équinoxe vernal ou équinoxe du printemps (le 21 mars était la date de l'équinoxe vernal pendant le Concile de Nice en 325 ap J.-C.). Car, du fait de la dérive d'environ 1 jour à tous les 128 ans au calendrier julien, en 1582 l'équinoxe vernal avait reculé de (1582-325)/128 jours = 1257/128 = 9,82 = environ 10 jours. La bulle papale de février 1582 a donc décrété que 10 jours devaient être supprimés d'octobre 1582, pour que le 15 octobre suive immédiatement le 4 octobre.Une différence fondamentale entre les calendriers julien et grégorien est "la règle d'année bissextile". De plus, le calendrier grégorien est actuellement en avance de 13 jours sur le calendrier julien. En outre, le calendrier julien se contentait d'ajouter une année bissextile tous les quatre ans et ce faisant, il suivait donc mal les saisons. Ces dernières se décalant lentement par rapport au calendrier à raison de 0,0078 jour par an (ou 11min. 14s par an); soit une dérive d'environ 3 jours au bout de 400 ans (0,0078 x 400 = 3,12 jours). Afin d'obtenir une meilleure concordance entre le calendrier et les saisons, le modèle grégorien supprime 3 jours sur une période de 400 ans.
Ainsi, le calendrier grégorien a 97 années bissextiles tous les 400 ans :
a) chaque année divisible par 4 est une année bissextile;
b) par contre, chaque année divisible par 100 n'est pas une année bissextile;
c) mais, chaque année divisible par 400 est une année bissextile. Ainsi, les années 1700, 1800, 1900, 2100 et 2200 ne sont pas des années bissextiles. Mais 1600, 2000 et 2400 sont des années bissextiles.
Dans le calendrier grégorien, l'année tropicale est d'environ 365 97/400 jours = 365 + 0,2425 = 365,2425 jours. L'approximation 365 97/400 est réalisée en fixant 97 années bissextiles à tous les 400 ans: le nombre de jours dans le cycle grégorien de 400 ans est (365 x 400 + 97) = 146 097 jours; la valeur moyenne de l'année calendaire est donc de (146 097 ÷ 400) = 365,2425 jours. Il y a donc exactement 20 871 semaines dans un cycle grégorien (146 097 ÷ 7 jours = 20 871 semaines).
L'écart de longueur entre l'année civile grégorienne et l'année solaire réelle est donc de 0.0003 jour (ou 25,9 secondes); car (0,2425 - 0,2422) jour = 0,0003 jour = 0,0003 x 86 400 sec. = 25,9 secondes. Ainsi, ça prend environ 3336 ans pour que l'année tropicale s'écarte d'un jour du calendrier grégorien; comme établi ci-dessus, 1 jour = 86 400 secondes, alors 86 400 ÷ 25,9 = 3335,907 ans.
En dépit de cette amélioration par rapport au calendrier julien, la durée de l'année grégorienne est encore trop longue. À titre comparatif, le calendrier persan moderne (toujours en usage en Iran et en Afghanistan) est le plus proche de la réalité et plus performant que notre calendrier grégorien. Il utilise des règles d'année bissextile assez complexes, en définissant un cycle de 2820 ans avec 683 années bissextiles; qui conduit à une longueur moyenne de l'une année égale à 365 683/2820 = 365 + 0,242198 = 365,2422 jours. En considérant la longueur de l'année tropicale comme constante, l'erreur latente s'élèverait à un jour dans plus de 2 millions d'années!
Comput ecclésiastique: Lettre dominicale, Nombre d'or et Épacte
Le comput ecclésiastique [vient du latin computus, computare = calculer] est la méthode de détermination de la date de Pâques au moyen d´un calendrier lunaire perpétuel, utilisant Lune ecclésiastique (une lune moyenne fictive). Nous traiterons ci-bas de trois concepts de base qui sont sous-jacents au comput ecclésiastique: la Lettre dominicale, le Nombre d'or et l'Épacte. Le comput julien (utilisé jusqu'en 1582) se base sur deux de ces concepts : la lettre dominicale et le nombre d´or. Le comput grégorien (en usage depuis 1583), qui a introduit le 3e concept d'épacte, utilise deux éléments : la lettre dominicale et l´épacte. Plus généralement, le comput ecclésiastique [computus paschalis en latin] se définit comme l'ensemble des calculs permettant de déterminer chaque année les dates des fêtes religieuses. Ces calculs comporte les lettres dominicales, le mombre d'or, l'épacte, le cycle solaire et l'indiction romaine. Nous vous proposons ici un algorithme identifiant annuellement tous ces 5 items du comput.Le cycle solaire (1 à 28) est le rang de l´année dans un cycle de 28 ans, temps requis pour le retour des jours de la semaine aux mêmes dates dans le calendrier julien. En pratique, le cycle solaire est intimement lié aux lettres dominicales. L'indiction romaine (1 à 15) est le rang de l'année dans un cycle de 15 ans; cet élément n'est pas utilisé pour le calcul de la date de Pâques. À l'origine, l'indiction était une période introduite à Rome par les Empereurs et qui désignait un impôt extraordinaire prélevé tous les quinze ans. Le comput ecclésiastique de base a été élaboré par Denis le Petit en l'an 525 ap. J.-C. Par la suite, des tables de calcul améliorées ont été proposées par Dionyisius Exiguus (532 ap. J.-C.), et par Aloisius Lilius (an 1576). Les tables de Lilius ont été ensuite ajustées par Christopher Clavius. Depuis 1583, ce sont ces tables modifiées de Clavius qu'utilise le comput ecclésiastique. Tous les algorithmes de calcul de la date de Pâques sont basés sur ces dernières tables.
Dans le calendrier julien, le Nombre d'or est suffisant au calcul de la date de pleine lune pascale. Dans le calendrier grégorien le calcul est compliqué par sa définition des années bissextiles. Ces années bissextiles altèrent le cycle métonique simple en changeant le nombre de jours dans les périodes différentes de 19 ans. Ce qui exige une méthode tabulaire utilisant l'Épacte au lieu du nombre d'or.
Lettre Dominicale
À chaque jour de la semaine, le comput ecclésiastique associe une lettre dominicale ainsi qu'un chiffre dominical. On fait correspondre successivement chacune les lettres A, B, C, D, E, F, G à chacun des jours de l'année, en commençant par le 1er janvier avec A, et en répétant le cycle tous les sept jours. Si l´année est normale (365 jours), l'opération s'effectue en une fois, et se termine avec A pour le 31 décembre; (365 = 52 x 7 + 1 = 364 +1). La lettre dominicale est celle relative au dimanche. Dans le cas des années bissextiles, l'opération s'effectue en deux temps : a) jusqu'au 29 février, auquel correspond D; b) et à partir du 1er mars, auquel est attribué également la lettre D. À chaque année bissextile, on associe deux lettres dominicales; la première est valable jusqu'au 29 février, soit sur les deux premiers mois, alors que la seconde est valable à partir du 1er mars. et couvre les dix derniers mois.La semaine comporte sept jours, des jours se suivent dans un ordre préétabli, sans qu'il soit nécessaire de se fixer une origine.
On peut alors effectuer ce que les mathématiciens appellent une bijection de l'ensemble des sept jours de la semaine sur l'ensemble des sept premières lettres de l'alphabet de telle sorte à obtenir la suite répétive, terme pour terme, ci-après :
... A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G...
Il y a en tout et pour tout sept façons possibles de le faire :
Si Dimanche est A, Lundi sera B, Mardi sera C, Mercredi sera D, Jeudi sera E, Vendredi sera F et Samedi G.
Si Dimanche est B, Lundi sera C, Mardi sera D, Mercredi sera E, Jeudi sera F, Vendredi sera G et Samedi A.
Si Dimanche est C, Lundi sera D, Mardi sera E, Mercredi sera F, Jeudi sera G, Vendredi sera A et Samedi B.
Si Dimanche est D, Lundi sera E, Mardi sera F, Mercredi sera G, Jeudi sera A, Vendredi sera B et Samedi C.
Si Dimanche est E, Lundi sera F, Mardi sera G, Mercredi sera A, Jeudi sera B, Vendredi sera C et Samedi D.
Si Dimanche est F, Lundi sera G, Mardi sera A, Mercredi sera B, Jeudi sera C, Vendredi sera D et Samedi E.
Si Dimanche est G, Lundi sera A, Mardi sera B, Mercredi sera C, Jeudi sera D, Vendredi sera E et Samedi F.
Il suffit donc de connaître la lettre associée à Dimanche pour maîtriser cette bijection ; cette lettre s'appelle la lettre dominicale.
Si nous utilisons les diverses valeurs spécifiques de Mod(7), soit les nombres 0 à 6, nous obtenons un carré 7x7 ci-dessous [avec symétrie par rapport à la diagonale], associé aux 7 bijections possibles de l'ensemble des sept jours de la semaine :
| Di | Lu | Ma | Me | Je | Ve | Sa |
| 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Nombre d'or
Le nombre d´or est essentiellement utilisé dans le comput julien pour la date de Pâques et il est remplacé par l´épacte dans le comput grégorien. Le nombre d´or (de valeur 1 à 19) est le rang d´une année dans le cycle de 19 ans ou cycle de Méton. En effet, Méton d'Athènes (470-400 av. J.-C.), astronome grec, a noté, vers l'an 432 av. J.-C., que l'addition de 7 mois au cours du cycle de 19 ans garde le calendrier julien presque exactement au rythme des saisons. Ce qui équivaut à fixer la longueur de l'année moyenne à (12 + 7/19) mois; soit (12 + 7/19) x 29,530587 = 365,2467 jours.En d'autres termes, cette découverte signifiait que la durée de 235 lunaisons était quasiment égale à celle de 19 années solaires, ou encore que l'âge de la lune tombent aux mêmes dates à tous les 19 ans. Autrement dit, un cycle de 19 années juliennes moyennes, ou cycle de Méton, comporte presque exactement 235 lunaisons moyennes. Comme le mois lunaire vaut 29,530587 jours [ou 29 jours 12 h 44 min. 2,8 sec.], 235 lunaisons durent 6 939,6879 jours (= 235 x 29,530587), alors que 19 années juliennes durent 6 939,7500 jours (= 365,25 x 19).
19 années juliennes = 19 x (365,25 ÷ 29,530587) = 19 x 12,368532 = 235,002108 mois lunaires
Dans ce cycle métonique de 19 ans, les phases de la lune se répétent exactement. Considérant ce rapport entre les phases de la lune et les jours de l'année qui se répète tous les 19 ans, il est naturel d'associer à chaque année un nombre entre 1 et 19. C'est le nombre d'or. Chaque année est associée à un nombre d'or unique, calculé comme suit:
Nombre d'or = (année mod 19) + 1
avec l'opérateur mod défini par n mod p = le reste de la division de n par p.
Les 235 lunaisons sont réparties optimalement en 12 années lunaires de 12 mois (comporatnt alternativement 30 et 29 jours) et en 7 années lunaires de 13 mois. Les 7 mois supplémentaires sont nommés mois embolismiques ou intercalaires.
- 235 lunaisons = 12 x 12 + 7 x 13
- 235 lunaisons = 125 mois de 30 jours + 110 mois lunaires de 29 jours
- 235 mois = 99 + 99 + 12 + 12 + 13
Comme 12 mois lunaires valent seulement 354.367 jours [12 x 29,530587], environ 11 jours de moins qu'une année solaire [365,25 jours], des mois lunaires complémentaires ont été ajoutés pour synchroniser le cycle. Ceux-ci furent ajoutées dans les années 3, 6, 9, 11, 14, 17 et 19 du cycle. En effet, après 3 ans l'écart entre les années lunaire et solaire devient 33 jours, car une année lunaire de 12 mois est plus courte qu'une année solaire de 11 jours. Si on insère alors un 1er mois embolismique de 30 jours, l'écart est réduit à 3 jours. Mais 3 ans plus tard, l'écart sera de 36 jours, ce qui nécessitera l'insertion d'un 2e mois embolismique de 30 jours, réduisant ainsi l'écart à 6 jours. L'insertion de nouveaux mois embolismiques de 30 jours sera requis à chaque fois que l'écart est supérieur à 30 jours. On poursuit donc les insertions de sorte qu'à la 18e année l'écart est de 18 jours, avec un décalage de 29 jours à la dernière année du cycle. Ce décalage est alors naturellement compensé par l'insertion du dernier mois embolismique de 29 jours. Le rythme d'insertion des 7 mois est décrit dans le tableau ci-dessous. Les années comportant un 13e mois sont en rouge
| An | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Écart | 11 | 22 | 3 | 14 | 25 | 6 | 17 | 28 | 9 | 20 | 1 | 12 | 23 | 4 | 15 | 26 | 7 | 18 | 0 |
La découverte de Méton fut si importante pour son temps que le cycle de Méton fut gravé en lettres d'or sur un temple athénien. Ce cycle lunaire de 19 ans ou cycle métonique était la base du calendrier grec jusqu'à l'introduction du calendrier julien en l'an 46 av. J.-C. Le père du calendrier lunaire julien, Eusèbe, évêque de Césarée, proposa au concile l'adoption d'un calendrier basé sur le cycle de Méton. En réalité, 19 années juliennes [6940 jours] surpassent d'environ 1h 28mn la durée des 235 lunaisons qui composent le cycle de Méton. Les 235 lunaisons de 29 jours, 12 heures, 44 minutes et 3 secondes aboutissent à une durée de 6939 jours, 16 heures, 31 minutes et 45 secondes. Ce dernier sera corrigé successivement par le cycle de Callipe (330 avant J.-C.), constitué de quatre cycles de Méton (76 ans) et par le cycle d’Hipparque (130 avant J.-C.), qui retranche du cycle de Callipe un jour tous les 304 ans, soit tous les quatre cycles de Callipe. (pour détails, voir Le calendrier luni-solaire, par le Centre TPE). Au fil de ces améliorations, l’approximation de la lunaison passe de 29,5319 jours avec Méton [année tropique de 6940/19 = 365,2631579 jours], à 29,5308 jours pour Callipe [année de (6940´ 4-1)/76 = 365,25 jours] et à 29,530579 jours chez Hipparque [année de ((6940´ 4-1)´ 4-1)/304 = 365,246528 jours], soit seulement une seconde d’écart avec la lunaison réelle.
Épacte
L'Épacte [n. f., du grec epaktai kêmerai = jours intercalaires] est par définition le nombre de jours qu'il faut ajouter à l'année lunaire pour qu'elle soit égale à l'année solaire. Dans le comput julien, l´épacte était l'âge de la Lune au 22 mars. Après la réforme de 1582, le comput grégorien postule l´épacte comme étant l´âge de la Lune au au 1er janvier janvier diminuée d'une unité i.e. l'âge de la lune à la veille du premier janvier. Ce chiffre représente la différence entre les calendriers solaire et lunaire.Puisqu'il y a seulement 19 nombres d'or possibles, l'Épacte peut prendre uniquement 19 différentes valeurs : 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 28 et 30.
L'Épacte est liée au nombre d'or. Claus Tondering résume en 4 étapes le calcul de l'épacte dans le calendrier grégorien (les divisions sont des divisions entières, dans lesquelles les restes sont écartées) :
- Employez la formule julienne :
Épacte julienne = (11 × (Nombre d'or -1)) mod 30 - Calculez le terme désigné "Équation Solaire" :
S = (3 × Siècle)/4
L'Équation Solaire cerne la différence entre les calendriers julien et grégorien. La valeur de S augmente de un chaque année du siècle qui n'est pas une année bissextile. (Aux fins de ce calcul, années 1900 à 1999 = 20e siècle et années 2000 à 2099 = 21e siècle etc.). - Calculez le terme désigné "Équation Lunaire" :
L = (8 × Siècle + 5)/25
L'Équation Lunaire capte la différence entre le calendrier julien et le cycle métonique. La valeur de L augmente de un 8 fois tous les 2500 ans. - Calculez l'épacte grégorienne ainsi :
Épacte grégorienne = Épacte julienne - S + L + 8
Le nombre 8 est une constante qui calibre le point de départ l'Épacte grégorienne pour qu'il corresponde à l'âge réel de la lune au jour de l'an. En réalité, cette constante aurait dû être 9, mais 8 a été probablement choisi par mesure de sécurité; on savait que le calcul était imprécis et on avait alors le sentiment qu'il était mieux de célébrer Pâques trop tard plutôt que trop tôt ... - Ajouter ou soustraire 30 jusqu'à ce que l'Épacte grégorienne soit entre 1 et 30
(dans le calendrier grégorien, l'épacte peut prendre toute valeur entière de 1 à 30).
| Nombre d'or G, Épacte et Pleine Lune Pascale | |||||||
| G ou Épacte | Pleine Lune Pascale | G ou Épacte | Pleine Lune Pascale | Épacte | Pleine Lune | ||
| Grégorien | Julien | Grégorien | Julien | Grégorien | |||
| 1 | 12 avril | 5 avril | 11 | 2 avril | 15 avril | 21 | 23 mars |
| 2 | 11 avril | 25 mars | 12 | 1 avril | 4 avril | 22 | 22 mars |
| 3 | 10 avril | 13 avril | 13 | 31 mars | 24 mars | 23 | 21 mars |
| 4 | 9 avril | 2 avril | 14 | 30 mars | 12 avril | 24 | 18 avril |
| 5 | 8 avril | 22 mars | 15 | 29 mars | 1 avril | 25 | 18 ou 17 avril |
| 6 | 7 avril | 10 avril | 16 | 28 mars | 21 mars | 26 | 17 avril |
| 7 | 6 avril | 30 mars | 17 | 27 mars | 9 avril | 27 | 16 avril |
| 8 | 5 avril | 18 avril | 18 | 26 mars | 29 mars | 28 | 15 avril |
| 9 | 4 avril | 7 avril | 19 | 25 mars | 17 avril | 29 | 14 avril |
| 10 | 3 avril | 27 mars | 20 | 24 mars | 30 | 13 avril | |
NOTES: Dans le comput julien, le Nombre d'or G prend les seules valeurs 1 à 19; alors que l'Épacte du comput grégorien prend les valeurs entre 1 et 30 Le dimanche de Pâques est le premier dimanche après la date de pleine lune. Si la pleine lune tombe un dimanche, Pâques sera le dimanche suivant. L'Épacte de 25 exige un traitement particulier, car il y a deux dates possibles dans la table. Deux méthodes équivalentes permettent de choisir la bonne date de pleine lune : A) si G > 11 ou nombre d'or est supérieur à 11, choisir le 17 avril et au cas contraire, choisir le 18 avril. B) Choisir le 18 avril, à moins que le siècle courant ne contienne des années avec une épacte de 24, auquel cas le 17 avril sera approprié. |
Le tableau ci-dessous indique la date de la nouvelle lune pour chaque mois. Chaque ligne correspond à l'un des 19 ans du cycle de Méton.
| Nombre d'or et date de la nouvelle lune pour chaque mois (dans le calendrier julien) | ||||||||||||
| Nombre d'or | Jan. | Fév. | Mars | Avr. | Mai | Juin | Juil. | Aôut | Sept. | Oct. | Nov. | Déc. |
| 1 | 23 | 21 | 23 | 21 | 21 | 19 | 19 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 |
| 2 | 12 | 10 | 12 | 10 | 10 | 8 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
| 3 | 1, 31 | 1, 31 | 29 | 29 | 27 | 27 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | |
| 4 | 20 | 18 | 20 | 18 | 18 | 16 | 16 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
| 5 | 9 | 7 | 9 | 7 | 7 | 5 | 5 | 3 | 2 | 2, 31 | 30 | 29 |
| 6 | 28 | 26* | 28 | 26 | 26 | 24 | 24 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 |
| 7 | 17 | 15 | 1 | 15 | 15 | 13 | 13 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 |
| 8 | 6 | 4 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1, 30 | 29 | 28 | 27 | 26 |
| 9 | 25 | 23 | 25 | 23 | 23 | 21 | 21 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 |
| 10 | 14 | 12 | 14 | 12 | 12 | 10 | 10 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 |
| 11 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1, 31 | 29 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 |
| 12 | 22 | 20 | 22 | 20 | 20 | 18 | 18 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 |
| 13 | 11 | 9 | 11 | 9 | 9 | 7 | 7 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1, 31 |
| 14 | 30 | 28* | 30 | 28 | 28 | 26 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
| 15 | 19 | 17 | 19 | 17 | 17 | 15 | 15 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 |
| 16 | 8 | 6 | 8 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | 1 | 1, 30 | 29 | 28 |
| 17 | 27 | 25* | 27 | 25 | 25 | 23 | 23 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 |
| 18 | 16 | 14 | 16 | 14 | 14 | 12 | 12 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
| 19 | 5 | 3 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1, 30 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 |
(calendrier grégorien uniquement)
Aloisius Lilius [forme latine de son vrai nom Aloigi Giglio] est l'auteur principal du calendrier grégorien. Toutefois, l'étape finale de la réforme grégorienne semble avoir été essentielement lié au travail de Christopher Clavius (1538-1612) [latinisation de son nom allemand Christoph Clau]. Car ce dernier a dû seul entreprendre sa défense et fournir de pleines justifications au projet de réforme (dans "Apologia", 1588; "Explicatio", 1603; voir références ci-bas).
Notation
Notation mathématique, sous forme d'opérateurs div et mod :
n div p = nombre de fois que p divise n (diviseur entier)
n mod p = le reste de la division de n par p
Exemples :
13 div 5 = 2, 13 mod 5 = 3 car 13 = 5x2 + 3
20 div 4 = 5, 20 mod 5 = 0 car 20 = 5x4 + 0
Algorithme
Pour les années avant 1583, date d'adoption du calendrier grégorien, pas de résultats avec cet algorithme. |
Cycle et fréquence des dates de Pâques
Dans le calendrier julien, la séquence des dates de Pâques se répète à tous les 532 ans. Le nombre 532 = 19x28 est le produit des nombres suivants : 19 (le cycle Metonique ou le cycle du nombre d'or) 28 (le cycle solaire).
Dans le calendrier grégorien, le cycle pascal est beaucoup plus long car la même date de Pâques revient périodiquement après un intervalle de 5,700,000 ans. Le calcul du cycle n'est pas aussi simple qu'avec le calendrier julien; le nombre 5,700,000 = 19x400x25x30 s'avère être le produit des nombres suivants : 19 (le cycle Métonique ou le cycle du nombre d'or); 400 (l'équivalent grégorien du cycle solaire); 25 (le cycle utilisé ci-dessus dans l'étape 3 du calcul de l'Épacte); 30 (le nombre des différentes valeurs de l'Épacte).
Pendant un cycle complet du calendrier grégorien, Pâques se fête plus souvent entre les 5 et 16 avril et plus rarement les 22 au 25 mars ou les 23 au 25 avril. Rappelons que dans le calendrier grégorien, le Dimanche de Pâques ne peut tomber que pendant 35 différentes dates, soit entre le 22 mars et le 25 avril, avec une fréquence quasi constante entre le 28 mars et le 20 avril, environ une fois tous les 30 ans (pour plus de détails, voir notre page sur la fréquence des dates de Pâques).
Références :
- Le cycle de Méton, par Jean Miart.
- Détermination de la date de Pâques, par J.E. Arlot et J. Lévy (Annuaire du Bureau des longitudes).
- Pâques et les fêtes religieuses mobiles, par Pierre de Lune (bonne explication des calculs).
- La date de Pâques, par Jean Miart.
- Le calendrier luni-solaire, par le Centre TPE.
- Le Calendrier, par Dr. David P. Stern; traduction française de Guy Batteur.
- Les saisons, par Institut de Mécanique Céleste, 1999.
- Christian calendar, par Claus Tondering.
- Aloisius Lilius, "Nineteen Years Cycle of Epacts", 1576; Chef-d'oeuvre de Lilius par lequel il a permis l'ajustement rapide des dates de Pâques avec la lune astronomique. Cette année, 1576, son manuscrit sur la réforme du calendrier fut présenté à la Curie Romaine par son frère Antonius.
- Christopher Clavius, "Novi calendarii Romani apologia" (adversus M. Maestlinum in Tubingensi Academiâ mathematicum) Rome, 1588.
- Christopher Clavius, "Romani calendarii a Gregorio XIII restituti explicatio" Rome, 1603.
- Gregorian algorithm, by Henk Reints, 1999-2002.
- The Date of Easter, par la U.S. Naval Observatory.
- The Calendar, Author and Curator: Dr. David P. Stern.
- Dates and Times of Equinoxes and Solstices, par Hermetic Systems.
- The Jewish Calendar, par Holger Oertel.
- The Persian Calendar, par Holger Oertel.
- Egyptian Calendar, by Louis Strous, 2000.
- Méton d'Athènes (470-400 av. J.-C.), Enneadecaterides, 432 av. J.-C.
- Nicolaus Copernicus, "De Revolutionibus Orbium Cœlestium", 1543 ["Six Books on the Revolutions of the Celestial Orbits"]. Ce travail immortel a permis à Erasmus Reinhold de calculer les Tables Prutenic (Wittenberg, 1554), qui devinrent par la suite la base de la réforme grégorienne. Auparavant, la commission papale sous Léon X avait demandé à Copernicus en 1514 d'exposer son avis sur le projet de réforme du calendrier et son opinion était que l'on ne maîtrisait pas encore suffisamment les mouvements du soleil et de la lune pour procéder à une réforme du calendrier. Copernicus avaient alors promis de continuer les observations du soleil et de la lune, ce qu'il fit pendant plus de dix années. Les résultats de ses observations sont contenus dans son "De Revolutionibus Orbium Cœlestium.
Mythe du vendredi 13 |