Algorithme de Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

MÉTHODES DE CALCUL DU JOUR DE PÂQUES
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Pâques: définition et problématique

Algorithme de Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
(calendrier grégorien uniquement)
Notation
Notation mathématique, sous forme d'opérateurs div et mod :
    n div p = nombre de fois que p divise n (diviseur entier)
    n mod p = le reste de la division de n par p
Exemples :
    13 div 5 = 2, 13 mod 5 = 3     car 13 = 5x2 + 3
    20 div 4 = 5, 20 mod 5 = 0     car 20 = 5x4 + 0

Algorithme

Algorithme grégorien de Carl Friedrich Gauss
(élargi par Henk Reints)

Dans la plupart des cas où vous trouvez l'algorithme de Gauss dans une encyclopédie ou ailleurs, les valeurs de M et N sont simplement postulées comme suit :

Pour le 20^e et 21^e siècle M = 24 et N = 5.

Henk Reints propose ci-dessous une méthode de calcul des valeurs de M et N, méthode vraisemblablement non cernée par Gauss lui-même.

Dans l'algorithme ci-dessous, toutes les étapes en bleu sont propre aux idées de Reints, et les étapes en noir sont celles que l'on retrouverait dans d'autres sources (particulièrement dans les encyclopédies hollandaises).

Les valeurs de M et N varient avec le siècle; la base de l'algorithme Gauss est justement ce qui varie par an.

A L G O R I T H M E :

HR:

P = année DIV 100

HR:

Q = (3 x P + 3) DIV 4 (ou: Q = P - P DIV 4)

HR:

R = (8 x P + 13) DIV 25

HR:

M = (15 + Q - R) MOD 30

HR:

N = (4 + Q) MOD 7

Plusieurs sources postulent simplement:
pour le 20^e et 21^e siècles M = 24 et N = 5.

Gauss:

A = année MOD 19

Gauss:

B = année MOD 4

Gauss:

C = année MOD 7

Gauss:

D = (19 x A + M) MOD 30

Gauss:

E = (2 x B + 4 x C + 6 x D + N) MOD 7

Gauss:

F = 22 + D + E

HR:

si F = 57 ou (F = 56 et E = 6 et A > 10) alors F = F - 7

résultat = F

La date de Pâques est F = (22 + D + E) mars
et si F est plus grand que 31,
on se reporte au mois d'avril,
à concurrence du nombre de jours excèdant le 31 mars.
NOTE:
Pour les années avant 1583, date d'adoption du calendrier grégorien,
pas de résultats avec cet algorithme.

Valeurs de M et N

Les valeurs de M et N varient avec le siècle, conformément à la table ci-dessous:

Période	`M`	`N`
1583-1599	22	2
1600-1699	22	2
1700-1799	23	3
1800-1899	23	4
1900-1999	24	5
2000-2099	24	5
2100-2199	24	6
2200-2299	25	0
2300-2399	26	1
2400-2499	25	1

Références

Gauss, Johann Carl Friedrich (1777-1855), Monatliche Correspondenz, August 1800, page 121; toute première publication de Gauss sur ses travaux de calcul de la date de Pâques.
Gauss, Johann Carl Friedrich, “Berechnung des Osterfestes”, Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 2 (1800), 121-130 [errata, ibid., 223] – reimpression sous: Carl Friedrich Gauss Werke (Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1874), vol. 6, pp. 73-79.
Gauss, Johann Carl Friedrich, “Berechnung des jüdischen Osterfestes”, Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 5 (1802), 435-437 – reimpression sous: Carl Friedrich Gauss Werke (Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1874), vol. 6, pp. 80-81.
Gauss, Johann Carl Friedrich, “Noch etwas über die Bestimmung des Osterfestes”, Braunschweigisches Magazin (12 September 1807) – reimpression sous: Carl Friedrich Gauss Werke (Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1874), vol. 6, pp. 82-86.
Gauss, Johann Carl Friedrich, “Eine leichte Methode, den Ostersonntag zu finden”, Astronomisches Jahrbuch für das Jahr 1814 (J.E. Hitzig, Berlin, 1811), pp. 273-274 – reimpression sous: Carl Friedrich Gauss Werke (Julius Springer Verlag, Berlin, 1927), vol. 11/1, pp. 199-200.
Gauss, Johann Carl Friedrich, “Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes”, Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, 1 (1816), 158 – reimpression sous: Carl Friedrich Gauss Werke (Julius Springer Verlag, Berlin, 1927), vol. 11/1, p. 201].
Gregorian algorithm by Carl Friedrich Gauss, par Henk Reints.
The Orthodox Ecclesiastical Calendar par Marcos J. Montes.
The Calculation of Easter, par Holger Oertel, 2004

Mythe du vendredi 13