Notation
Notation mathématique, sous forme d'opérateurs div et mod :
n div p = nombre de fois que p divise n (diviseur entier)
n mod p = le reste de la division de n par p
Exemples :
13 div 5 = 2, 13 mod 5 = 3 car 13 = 5x2 + 3
20 div 4 = 5, 20 mod 5 = 0 car 20 = 5x4 + 0
ssaa l'année, ie. 2004.
ss le siècle ou les deux premiers de l'année ssaa; ss = 20 pour l'an 2004.
aa l'année spécifique ou les deux derniers chiffres de l'année ssaa; aa = 04 pour l'an 2004.
m le rang du mois.
Algorithme
A) Calendrier julien
(dates avant 1583)
- Diviser (5ss + aa) par 19, reste x;
donc (5ss + aa) mod 19 = x - Diviser (19x + 15) par 30 reste y;
soit (19x + 15) mod 30 = y
y est le nombre de la Pleine Lune Pascale (PLP): y indique combien de jours après le 21 mars survient la PLP; - À y ajouter (aa + aa/4 - ss), diviser par 7, reste z;
soit (y + aa + aa/4 - ss) mod 7 = z
Pâques survient (y + 7 - z) jours après le 21 mars ou (7 - z) jours après la pleine lune pascale.
(dates depuis 1583)
- Diviser (5ss + aa) par 19, reste x;
donc (5ss + aa) mod 19 = x - À (19x + 15) ajouter le nombre g = (ss - ss/4 - ss/3); diviser (19x + 15 + ss - ss/4 - ss/3) par 30, reste;
ou (19x + 15 + ss - ss/4 - ss/3) mod 30 = y
y est le nombre de la Pleine Lune Pascale (PLP): y indique quel jour après le 21 mars survient la PLP; - À y ajouter (aa + aa/4 + ss/4 + 2 - 2ss), diviser par 7, reste z,
ou (y + aa + aa/4 + ss/4 + 2 - 2ss) mod 7 = z
alors le dimanche de Pâques tombe (y + 7 - z) jours après le 21 mars; i.e. le (7 - z)e jour après la pleine lune pascale.
Notes de Zeller
Note 1. La valeur de g dans 2) reste souvent le même pendant des siècles successifs et s'élève à 7, 8 et 9 pour les années 1583-1700, 1700-1900 et 1900-2200. La formule donnée est ainsi correcte jusqu'à l'année 4200; par la suite, pour les années subséquentes, au lieu de ss/3 mettre la valeur exacte (8ss + 13)/25. Ainsi la formule couvrira complètement tous les siècles du calendrier grégorien.
Note 2. Si dans la 3e étape la somme à être divisée est un multiple parfait de 7, donnant alors z=0, avec cette exception, deux cas spéciaux pour le calendrier grégorien :
1) quand z=0 et y=29; 2) quand d=0, y=28 et a > 10; prendre alors z=7; autrement dit, quand pour z=0, y=29 donne le 26 avril comme la date de Pâques, alors au lieu de cela prendre le 19 avril; et le 18 avril au lieu du 25 avril, quand y=28, a > 10, z=0. Selon les prévisions de Zeller, ce scénario devait survenir la première fois en 1954 (i.e. pour année 1954, date de Pâques est Avril 18).
Rappelons ici que dans le calendrier grégorien, le Dimanche de Pâques ne peut tomber que pendant 35 différentes dates, soit entre le 22 mars et le 25 avril, jamais le 26 avril.
Exemples
Année 1520 (exemple propre de Zeller)
ss = 15 aa = 20
1) (aa + 5ss) mod 19 = (20 + 75) mod 19 = 95 mod 19 = 0 car 95 = 19x5 + 0; X = 0
2) (19X + 15) = (19x0 + 15) = 15; Y = 15
3) (Y + aa + aa/4 - ss) mod 7 = (15 + 20 + 20/4 - 15) mod 7 = 25 mod 7 = 4 car 25 = 7x3 + 4; Z = 4
Date de Pâques tombe (15 + 7 - 4) = 18 jours après le 21 mars, soit au 39 mars ou 8 avril 1520 (8 = 39 mars - 31 jours réguliers du mois de mars).
Raphael est mort 2 jours avant Pâques 1520, soit le vendredi saint du 8 avril 1520.
Année 1886 (autre exemple de Zeller)
ss = 18, aa = 86, aa/4 = 21
1) (aa + 5ss) mod 19 = (86 + 5x18) mod 19 = 176 mod 19 = 5 car 176 = 19x9 + 5; X = 5
2) (19X + 15 + ss - ss/4 - ss/3) mod 30 = (19x5 + 15 + 18 - 18/4 - 18/3) mod 30 = 118 mod 30 = 28 car 118 = 30x3 + 28 Y = 28
3) (Y + aa + aa/4 + ss/4 + 2 - 2ss) mod 7 = (28 + 86 + 86/4 + 18/4 + 2 - 2x18) mod 7 = (141 - 36) mod 7 = 105 mod 7 = 0 car 105 = 7x15 + 0 Z = 0 (car a<10)
Pâques tombe (28 + 7 - 0) = 35 jours après le 21 mars, soit au 56 mars ou 25 avril 1886 (25 = 56 mars - 31 jours réguliers du mois de mars).
Année 2004
ss = 20, aa = 04, aa/4 = 1
1) (aa + 5ss) mod 19 = (4 + 5x20) mod 19 = 104 mod 19 = 9 car 104 = 19x5 + 9; X = 9
2) (19X + 15 + ss - ss/4 - ss/3) mod 30 = (19x9 + 15 + 20 - 20/4 - 20/3) mod 30 = 195 mod 30 = 15 car 195 = 30x6 + 15 Y = 15
3) (Y + aa + aa/4 + ss/4 + 2 - 2ss) mod 7 = (15 + 4 + 4/4 + 20/4 + 2 - 2x20) mod 7 = (27 - 40) mod 7 = (-13) mod 7 = -6
comme z est négatif, on fait (7n + z) où l'entier n est choisi de façon à ce que la valeur de l'expression varie de 0 à 6; 7n reflètant le cycle répétitif des 7 jours de semaine. Ici z = -6, on fait 7 - 6 = 1, soit n=1 Z = 1
Pâques tombe (15 + 7 - 1) = 21 jours après le 21 mars, soit au 42 mars ou 11 avril 2004 (11 = 42 mars - 31 jours réguliers du mois de mars).
Références :
- Formule de Zeller, par Charles-É. Jean dans Dictionnaire de mathématiques récréatives
- Calendar Formulae, par Dr J R Stockton.
- "Kalender-Formeln" von Chr. Zeller, Acta Mathematica, vol.9 (1886-7), pp.131-6. (Nov 1886)
- "Kalender-Formeln" von Rektor Chr. Zeller, Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, ser. 1, 1 (1885), 54-58.
- "Problema duplex Calendarii fundamentale". Par M. Ch. Zeller, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol.11, pp.59-61, (Séance du 16 mars 1883).
- "Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst", Zeller, Chr., Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, Jahrgang V (1882), pp. 313-314.
- Calendars Algorithms, par le Professeur Michael E. Mauel, Columbia University.
- Zeller's algorithm.
Mythe du vendredi 13 |