Règle "Doomsday"
L'algorithme de Conway utilise le concept de "Doomsday". Le "Doomsday" ou jour-clef est un certain jour de la semaine pour chaque année spécifique. Dans cette année, le Doomsday mensuel est une date spécifique pour chaque mois (qui correspond aussi au jour de la semaine associé à l'année considérée). Le secret de la méthode "Doomsday" est de fournir une façon de savoir le jour de la semaine pour une date donnée dans chaque mois de l'année; Conway ayant noté et exploité le fait que certaines dates spécifiques dans les 12 mois tombent toujours le même jour de la semaine, pour toute année donnée.
La Règle des Doomsdays mensuels enseigne que, pour toute année donnée, normale ou bissextile, toutes les dates suivantes du mois, les 7 mars, 4 avril, 9 mai, 6 juin, 11 juillet, 8 août, 5 septembre, 10 octobre, 7 novembre et 12 décembre tombent toujours le même jour de la semaine. Le lecteur pourrait vérifier ces calculs ou la Règle des Doomsdays mensuels pour m'importe quelle année à l'aide de notre calendrier annuel perpétuel à 12 mois. Comme le siècle et l'année, chaque mois a aussi son Doomsday. Dans l'ordre, la liste des Doomsdays des 12 mois est : (31, 28, 7, 4, 9, 6, 11, 8, 5, 10, 7, 12) pour les années normales, ou (32, 29, 7, 4, 9, 6, 11, 8, 5, 10, 7, 12) pour les années bissextiles (note : 32e jour de janvier correspond en réalité au 1er février).
Par exemple, en 1997, ce jour spécial de la semaine que Conway qualifie de "Doomsday" était vendredi. Pour 1997, année non bissextile, les dates suivantes, notées sous forme de rapport du mois au jour du même mois, mm/jj, tombaient donc toutes au Doomsday (vendredi): 1/3, 1/31, 2/0, 2/7, 2/28, 3/0, 3/7, 3/28, 4/4, 5/9, 6/6, 7/11, 8/8, 9/5, 10/10, 11/7 et 12/12; avec 1/3 = 3e jour de janvier, ..., 12/12 = 12e jour de décembre; 2/0 = 0e de février = dernier jour de janvier et 3/0 = 0e de mars = dernier jour de février. Pour plus de détails sur la méthode Doomsday de calcul du jour de la semaine, voir ce lien. Toutefois, il importe ici de rappeler ici les codes numériques des jours de la semaine et les Doomsdays des années séculaires, selon cette procédure.
Jours de la semaine et codes numériques
| Jour de la semaine : code numérique d | |||||||
| Jour | Dimanche | Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Samedi |
| d | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Doomsdays des années séculaires CC00
(jour de la semaine)
| Années séculaires et code numérique c | ||||
| ANNÉES | 1500 | 1600 | 1700 | 1800 |
| 1900 | 2000 | 2100 | 2200 | |
| 2300 | 2400 | 2500 | 2600 | |
| 2700 | 2800 | 2900 | 3000 | |
| 3100 | 3200 | 3300 | 3400 | |
| 3500 | 3600 | 3700 | 3800 | |
| 3900 | 4000 | 4100 | 4200 | |
| ... | ... | ... | ... | |
| c | 3 Mer | 2 Mar | 0 Dim | 5 Ven |
Notation
Notation mathématique, sous forme d'opérateurs div et mod :
n div p = nombre de fois que p divise n (diviseur entier)
n mod p = le reste de la division de n par p
Exemples :
13 div 5 = 2, 13 mod 5 = 3 car 13 = 5x2 + 3
20 div 4 = 5, 20 mod 5 = 0 car 20 = 5x4 + 0
Algorithme
Par convention, le dimanche de Pâques, date de la celébration annuelle de la résurrection du Christ, est le dimanche suivant immédiatement la date de pleine lune pascale (PLP) pour l'année. La PLP est donnée par la formule ci-dessous:
Avril 19 = Mars 50 - (11 G + C) MOD 30
Rappelons ici que le mois de mars comporte 31 jours; et le 50e jour de mars équivaut au 19 avril (19 = 50 - 31 jours réguliers de mars). Lors de l'utilisation de cette formule, si le résultat est Avril 19 [ou (11 G + C) MOD 30 = 0], vous devez prendre plutôt Avril 18 comme date de PLP; par contre si la formule donne le résultat est Avril 18 avec G >= 12, vous devez prendre plutôt Avril 17 comme PLP.
Dans la formule, G est le nombre d'or. Pour l'année Y, le nombre d'or [Golden number en anglais] est:
G = Y MOD 19 + 1
La variable C est le terme séculaire.
Pour toutes les années juliennes (années avant 1583) C = 3.
Dans le calendrier grégorien (années après 1583),
C = -4 pour les années 15xx, 16xx;
C = -5 pour les années 17xx, 18xx;
C = -6 pour les années 19xx, 20xx.
La formule générale de calcul de C pour toute année grégorien Hxx est :
C = -H + [H/4] + [8(H + 11)/25] (les crochets [ ] signifient partie entière de la division)
Exemples de calcul du dimanche de Pâques
Année 1945
Le Doomsday spécifique d'une année CCYY est donné par la formule suivante:
Doomsday CCYY = [ Doomsday (CC00) + YY + YY DIV 4 ] MOD 7
Doomsday 1945 = [Doomsday 1900 + 45 + 45 DIV 4] MOD 7
= [3 + 45 + 11] MOD 7 = 59 MOD 7 = 3 soit mercredi; selon les codes numériques des jours de la semaine établis ci-haut.
G = 1945 MOD 19 + 1 = 7 + 1 = 8
C = -6
Mars 50 - (11 G + C) MOD 30 =
Mars 50 - (11x8 - 6) MOD 30 = Mars 50 - (88 - 6) MOD 30 = Mars 50 - 82 MOD 30 = Mars 50 - 22 = Mars 28 avec 28 = 4x7 jours + 0
Donc, Mars 28 est Doomsday + 0 = mercredi = 28 mars 1945 = date de pleine lune pascale (PLP).
Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant immédiatement la date de PLP; donc:
1er Avril 1945 = Pâques (28 mars + 4 jours)
Année 1994
Doomsday 1994 = [Doomsday 1900 + 94 + 94 DIV 4] MOD 7
= [3 + 94 + 23] MOD 7 = 120 MOD 7 = 1 soit lundi
G = 1994 MOD 19 + 1 = 18 + 1 = 19
C = -6
Mars 50 - (11 G + C) MOD 30 =
Mars 50 - (11x19 - 6) MOD 30 = Mars 50 - (209 - 6) MOD 30 = Mars 50 - 203 MOD 30 = Mars 50 - 23 = 27;
avec 27 = 28 jours - 1 = 4x7 jours - 1 ou 27 = 7 jours + 20
Donc, Mars 27 est Doomsday - 1 = Doomsday + 20 = dimanche = 27 mars 1994 = date de pleine lune pascale (PLP).
Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant immédiatement la date de PLP; donc:
3 Avril 1994 = Pâques (27 mars + 7 jours)
Année 2003
Doomsday 2003 = [ Doomsday 2000 + 03 + 03 DIV 4 ] MOD 7
= [2 + 3 + 0] MOD 7 = 5 avec opération MOD 7 pas nécessaire car [2 + 3 + 0] = [5] < 7 jours soit Vendredi
G = 2003 MOD 19 + 1 = 8 + 1 = 9
C = -6
Mars 50 - (11 G + C) MOD 30 =
Mars 50 - (11x9 -6) MOD 30 = Mars 50 - (99 -6) MOD 30 = Mars 50 - 93 MOD 30 = Mars 50 -3= Mars 47;
avec 47 = 42 jours + 5 = 6x7 jours + 5
Donc, Mars 47 est Doomsday + 5 = Mercredi = 16 avril 2003 = date de pleine lune pascale (PLP).
Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant immédiatement la date de PLP; donc:
20 Avril 2003 = Pâques (16 avril + 4 jours)
Année 2004
Doomsday 2004 = [Doomsday 2000 + 04 + 04 DIV 4] MOD 7
= [2 + 4 + 1] MOD 7 = 7 MOD 7 = 0 soit dimanche
G = 2004 mod 19 + 1 = 9 + 1 = 10
C = -6
Mars 50 - (11 G + C) MOD 30 =
Mars 50 - (11x10 -6) MOD 30 = Mars 50 - (110 -6) MOD 30 = Mars 50 - 104 MOD 30 = Mars 50 -14= Mars 36 = 5 avril;
avec 36 = 35 jours + 1 = 5x7 jours + 1
Donc, Mars 36 est Doomsday + 1 = Lundi = 5 avril 2004 = date de pleine lune pascale (PLP).
Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant immédiatement la date de PLP; donc:
11 Avril 2004 = Pâques (5 avril + 6 jours)
Références :
- John Horton Conway, Calendar Calculations ("Doomsday" rule), in Mathematical Surprises Jan/Feb 1991, p. 46
- John Horton Conway, Elwyn R. Berlekamp and Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", Volume II: Games in Particular, Academic Press, London, 1982, ISBN 01-12-091102-7, pages 795-800.
- The Doomsday Rule, by S.W. Graham, October 1998.
- What is the day of the week, given any date? by William H. Jefferys
Mythe du vendredi 13 |